Goniometrie & Complexe Getallen

Domein E VWO

Interactieve Eenheidscirkel

Klik of sleep op de cirkel om de hoek te veranderen.

Waarden

Hoek (graden) 0

Hoek (radialen) 0

sin(a) 0

cos(a) 1

tan(a) 0

Coordinaat (1, 0)

Snelkeuze

Goniometrische Grafieken

sin(x) cos(x) tan(x)

Formule-overzicht

Grondformule

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Tangens

tan(x) = sin(x) / cos(x)

Som sinus

sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Verschil sinus

sin(a-b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

Som cosinus

cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

Verschil cosinus

cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Dubbele hoek sinus

sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)

Dubbele hoek cosinus

cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)

cos(2a) = 2cos^2(a) - 1

cos(2a) = 1 - 2sin^2(a)

Goniometrische Vergelijkingen Oplossen

sin(x) = a

x = arcsin(a) + k*2pi

x = pi - arcsin(a) + k*2pi

cos(x) = a

x = arccos(a) + k*2pi

x = -arccos(a) + k*2pi

tan(x) = a

x = arctan(a) + k*pi

Oplossingshulp - Voer een vergelijking in:

Complexe Getallen Visualisatie

Complex getal invoeren

Reeel deel (a)

Imaginair deel (b)

z = 3 + 4i

|z| (modulus) 5

arg(z) (argument) 0.927 rad

Poolvorm 5(cos(0.93) + i*sin(0.93))

Bewerkingen

z2 reeel

z2 imaginair

Goniometrie Theorie

Eenheidscirkel

De eenheidscirkel heeft straal 1 en middelpunt (0,0). Voor een punt P op de cirkel met hoek a (tegen de klok in vanaf de positieve x-as):

P = (cos(a), sin(a))

Radialen en Graden

pi radialen = 180 graden

1 rad = 180/pi graden (ongeveer 57.3)

1 graad = pi/180 rad

Exacte Waarden

Hoek	0	pi/6 (30)	pi/4 (45)	pi/3 (60)	pi/2 (90)
sin	0	1/2	(1/2)*sqrt(2)	(1/2)*sqrt(3)	1
cos	1	(1/2)*sqrt(3)	(1/2)*sqrt(2)	1/2	0
tan	0	(1/3)*sqrt(3)	1	sqrt(3)	-

Complexe Getallen Theorie

Definitie

Een complex getal z = a + bi waarbij:

a = Re(z) is het reele deel
b = Im(z) is het imaginaire deel
i^2 = -1

Modulus en Argument

|z| = sqrt(a^2 + b^2)

arg(z) = arctan(b/a) (in juiste kwadrant)

Poolcoordinaten (Euler)

z = r(cos(phi) + i*sin(phi)) = r * e^(i*phi)

waarbij r = |z| en phi = arg(z)

Rekenregels

z1 + z2 = (a1+a2) + (b1+b2)i

z1 * z2 = r1*r2 * e^(i*(phi1+phi2))

z1 / z2 = (r1/r2) * e^(i*(phi1-phi2))

z^n = r^n * e^(i*n*phi) (De Moivre)

Oefeningen

Bereken de exacte waarde:

sin(pi/4)