Calculus Trainer Gevorderd

Differentiatieregels

Machtsfunctie

f(x) = x^n => f'(x) = n * x^(n-1)

Voorbeeld: f(x) = x^3 => f'(x) = 3x^2

Somregel

(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)

Voorbeeld: (x^2 + 3x)' = 2x + 3

Productregel

(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

Voorbeeld: (x^2 * sin(x))' = 2x * sin(x) + x^2 * cos(x)

Quotiëntregel

(f/g)'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2

Voorbeeld: (x^2/sin(x))' = (2x*sin(x) - x^2*cos(x)) / sin^2(x)

Kettingregel

(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

Voorbeeld: (sin(x^2))' = cos(x^2) * 2x = 2x*cos(x^2)

Speciale functies

(e^x)' = e^x
(ln(x))' = 1/x
(sin(x))' = cos(x)
(cos(x))' = -sin(x)

Integratietechnieken

Basisintegraal

Integraal van x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n != -1)

Voorbeeld: Integraal van x^2 dx = x^3/3 + C

Substitutie

Integraal van f(g(x)) * g'(x) dx = F(g(x)) + C

Voorbeeld: Integraal van 2x*cos(x^2) dx, stel u = x^2

Partiële integratie

Integraal van u * dv = u * v - Integraal van v * du

Voorbeeld: Integraal van x * e^x dx = x*e^x - e^x + C

Speciale integralen

Integraal van e^x dx = e^x + C
Integraal van 1/x dx = ln|x| + C
Integraal van sin(x) dx = -cos(x) + C
Integraal van cos(x) dx = sin(x) + C

Differentiaalvergelijkingen

Scheidbare DV

dy/dx = f(x) * g(y) => Integraal van dy/g(y) = Integraal van f(x) dx

Voorbeeld: dy/dx = x*y => ln|y| = x^2/2 + C

Lineaire DV (1e orde)

dy/dx + P(x)*y = Q(x)

Oplossing via integrerende factor: e^(Integraal P(x)dx)

Exponentiële groei/verval

dN/dt = k*N => N(t) = N_0 * e^(kt)

k > 0: groei, k < 0: verval

Toepassingen van Calculus

Extremen bepalen

1. Stel f'(x) = 0
2. Los op naar x
3. Bepaal of het een max/min is via f''(x)

f''(x) > 0: minimum, f''(x) < 0: maximum

Buigpunten

1. Stel f''(x) = 0
2. Controleer tekenwissel van f''(x)

Oppervlakte berekenen

O = Integraal van a tot b van |f(x)| dx

Let op: splits bij nulpunten!

Inhoud omwentelingslichaam

Om x-as: V = pi * Integraal van a tot b van f(x)^2 dx
Om y-as: V = 2*pi * Integraal van a tot b van x * f(x) dx