Bewijzen en Redeneren

Domein A VWO

Bewijstechnieken

In de wiskunde gebruiken we verschillende technieken om te bewijzen dat een bewering waar is. Hier leer je de drie belangrijkste methoden.

1. Direct Bewijs

Gegeven: aanname P
Bewijs: via logische stappen dat Q volgt
Conclusie: P => Q

Je begint met wat je weet en leidt stap voor stap het gewenste resultaat af.

2. Bewijs uit het Ongerijmde (Reductio ad Absurdum)

Aanname: neem aan dat de bewering NIET waar is
Afleiding: leid een tegenspraak af
Conclusie: de aanname was fout, dus de bewering is waar

Voorbeeld: Bewijs dat wortel(2) irrationaal is door aan te nemen dat het rationaal is.

3. Volledige Inductie

Basisstap: bewijs dat de bewering geldt voor n = 1 (of n = 0)
Inductiestap: bewijs dat als het geldt voor n = k, het ook geldt voor n = k + 1
Conclusie: de bewering geldt voor alle n >= 1

Vergelijk met dominostenen: als de eerste valt en elke steen de volgende omgooit, vallen ze allemaal.

Veelgebruikte Logische Notaties

=> : als ... dan (implicatie)
<=> : dan en slechts dan als (equivalentie)
/\ : en (conjunctie)
\/ : of (disjunctie)
! : niet (negatie)
Ax : voor alle x (universele kwantor)
Ex : er bestaat een x (existentiele kwantor)

Directe Bewijzen en Bewijs uit het Ongerijmde

Voorbeeld 1: De som van twee even getallen is even

Gegeven: a en b zijn even getallen

Stap 1: a = 2m voor zekere m in Z

Stap 2: b = 2n voor zekere n in Z

Stap 3: a + b = 2m + 2n = 2(m + n)

Stap 4: Omdat m + n in Z, is a + b = 2k met k = m + n

Conclusie: a + b is even. QED

Voorbeeld 2: Als n^2 even is, dan is n even (uit het ongerijmde)

Aanname: Stel n is oneven

Stap 1: n = 2k + 1 voor zekere k in Z

Stap 2: n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1

Stap 3: n^2 is oneven

Stap 4: Dit is in tegenspraak met het gegeven dat n^2 even is

Conclusie: Onze aanname was fout, dus n is even. QED

Voorbeeld 3: wortel(2) is irrationaal (uit het ongerijmde)

Aanname: Stel wortel(2) = p/q met ggd(p, q) = 1

Stap 1: 2 = p^2/q^2, dus p^2 = 2q^2

Stap 2: p^2 is even, dus p is even (bewezen hierboven)

Stap 3: p = 2m, dus 4m^2 = 2q^2, dus q^2 = 2m^2

Stap 4: q^2 is even, dus q is even

Stap 5: Maar p en q zijn beide even, dit is in tegenspraak met ggd(p,q) = 1

Conclusie: wortel(2) is irrationaal. QED

Voorbeeld 4: Het product van een oneven en een even getal is even

Gegeven: a is oneven, b is even

Stap 1: a = 2m + 1, b = 2n

Stap 2: a * b = (2m + 1)(2n) = 4mn + 2n = 2(2mn + n)

Conclusie: a * b is even. QED

Volledige Inductie

Voorbeeld 1: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

Basisstap (n = 1):

Links: 1

Rechts: 1(1+1)/2 = 1

Links = Rechts. Klopt.

Inductiestap:

Inductiehypothese (IH): Stel dat geldt voor n = k:

1 + 2 + ... + k = k(k+1)/2

Te bewijzen voor n = k + 1:

1 + 2 + ... + k + (k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) (gebruik IH)

= (k+1)(k/2 + 1) = (k+1)(k+2)/2

Dit is precies de formule met n = k + 1. QED

Voorbeeld 2: 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

Basisstap (n = 1):

Links: 1, Rechts: 1*2*3/6 = 1. Klopt.

Inductiestap:

IH: 1^2 + 2^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6

1^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2

= (k+1)[k(2k+1)/6 + (k+1)]

= (k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)] / 6

= (k+1)(2k^2 + 7k + 6) / 6

= (k+1)(k+2)(2k+3) / 6

Dit is de formule met n = k + 1. QED

Voorbeeld 3: 2^n > n voor alle n >= 1

Basisstap (n = 1):

2^1 = 2 > 1. Klopt.

Inductiestap:

IH: 2^k > k

2^(k+1) = 2 * 2^k > 2k (gebruik IH)

2k = k + k >= k + 1 (want k >= 1)

Dus 2^(k+1) > k + 1. QED

Oefeningen

Score: 0 / 0