Wat is de afgeleide?
De afgeleide f'(x) geeft de helling van de grafiek van f(x) in elk punt. Het beschrijft hoe snel een functie verandert.
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h
Voorbeeld: De functie f(x) = x² heeft afgeleide f'(x) = 2x.
In het punt x = 3 is de helling f'(3) = 6.
Betekenis van de afgeleide
- f'(x) > 0 → functie is stijgend
- f'(x) < 0 → functie is dalend
- f'(x) = 0 → horizontale raaklijn (mogelijk extremum)
Machtsfuncties
f(x) = xn → f'(x) = n · xn−1
Voorbeelden:
f(x) = x³ → f'(x) = 3x²
f(x) = x⁵ → f'(x) = 5x⁴
f(x) = √x = x½ → f'(x) = ½x−½
Constante factor & somregel
[c · f(x)]' = c · f'(x)
[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)
Voorbeeld: f(x) = 4x³ − 2x + 7
f'(x) = 12x² − 2
Kettingregel
Voor samengestelde functies f(g(x)):
[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)
Voorbeeld: f(x) = (3x + 1)⁴
Buitenfunctie: u⁴, binnenfunctie: u = 3x + 1
f'(x) = 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³
Helling bepalen
De helling van de grafiek in punt x = a is gelijk aan f'(a).
Voorbeeld: f(x) = x² − 4x + 3. Bepaal de helling in x = 5.
f'(x) = 2x − 4 → f'(5) = 2·5 − 4 = 6
Extremen bepalen
Extremen (toppen en dalen) vind je door f'(x) = 0 op te lossen en het verloop te controleren.
Voorbeeld: f(x) = x³ − 3x
f'(x) = 3x² − 3 = 0 → x² = 1 → x = −1 of x = 1
f(−1) = 2 (maximum), f(1) = −2 (minimum)
Optimalisatie
Bij optimaliseringsproblemen stel je een functie op voor de te optimaliseren grootheid en zoek je het maximum of minimum via de afgeleide.
Voorbeeld: Een boer heeft 60 m hek en wil een rechthoekig stuk land omheinen tegen een muur. Welke afmetingen geven maximale oppervlakte?
Noem de breedte x. Dan lengte = 60 − 2x.
A(x) = x(60 − 2x) = 60x − 2x²
A'(x) = 60 − 4x = 0 → x = 15
Maximale oppervlakte: A(15) = 15 · 30 = 450 m²